Contenido Teórico
¿Qué es el Producto Cartesiano?
El producto cartesiano es una operación entre dos conjuntos. Dados dos conjuntos A y B, su producto cartesiano, denotado A×B, es el conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b), donde el primer elemento pertenece al conjunto A y el segundo al conjunto B.
A×B = {(a,b) ∣ a∈A y b∈B}
Puntos clave:
- El orden sí importa: (a,b) ≠ (b,a) en la mayoría de los casos.
- Si A tiene m elementos y B tiene n, entonces A×B tendrá m⋅n elementos.
- El producto cartesiano puede generalizarse a más de dos conjuntos: A×B×C, etc.
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = {1,2}
B = {x,y}
Entonces:
A×B = {(1,x), (1,y), (2,x), (2,y)}
B×A = {(x,1), (x,2), (y,1), (y,2)}
Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Producto Cartesiano
Dados A = {a, b} y B = {1, 2, 3}, el producto cartesiano A × B es:
{(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}
Cardinalidad: 2 × 3 = 6 elementos
Ejemplo 2: Relación de Orden
En el conjunto A = {1, 2, 3}, la relación:
R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3), (1,3)}
representa la relación "es menor o igual que".
Propiedades:
- Reflexiva: Sí (contiene (1,1), (2,2), (3,3))
- Simétrica: No (por ejemplo (1,2) ∈ R pero (2,1) ∉ R)
- Antisimétrica: Sí
- Transitiva: Sí
Ejemplo 3: Relación Reflexiva y Simétrica
Considera A = {1, 2, 3} y la relación:
R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)}
Propiedades:
- Reflexiva: Sí
- Simétrica: Sí
- Antisimétrica: No (contiene (1,2) y (2,1) pero 1 ≠ 2)
- Transitiva: No (faltaría (1,1) para ser transitiva)