Contenido Teórico
¿Qué es una Función?
Una función es una relación entre dos conjuntos, donde a cada elemento del dominio (conjunto de partida) le corresponde exactamente un elemento del codominio (conjunto de llegada).
Clasificación de Funciones
Dependiendo de cómo se relacionan los elementos del dominio con los del codominio, las funciones se clasifican en:
- Inyectivas
- Sobreyectivas
- Biyectivas
Función Inyectiva (Uno a Uno)
Una función es inyectiva si a elementos distintos del dominio les corresponden elementos distintos del codominio.
∀a₁, a₂ ∈ A, f(a₁) = f(a₂) ⇒ a₁ = a₂
Observación: Una función inyectiva nunca asigna el mismo valor del codominio a dos elementos diferentes del dominio.
Función Sobreyectiva (Sobre)
Una función es sobreyectiva si cada elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio.
∀b ∈ B, ∃a ∈ A tal que f(a) = b
Observación: En una función sobreyectiva, el rango (conjunto de valores que realmente toma la función) es igual al codominio.
Función Biyectiva (Uno a Uno y Sobre)
Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. Es decir, cada elemento del codominio es imagen de un único elemento del dominio.
∀b ∈ B, ∃!a ∈ A tal que f(a) = b
Observación: Las funciones biyectivas tienen funciones inversas que también son funciones.
Ejemplos Prácticos
Función Biyectiva
La función f(x) = x + 5 definida en ℝ es biyectiva:
- Es inyectiva: valores distintos de x producen valores distintos de f(x).
- Es sobreyectiva: para cualquier y ∈ ℝ, existe un x ∈ ℝ tal que f(x) = y.
Función Inyectiva
Considera la función f(x) = 2x + 3 definida en ℝ.
Para cualquier par de valores distintos x₁ y x₂, se tiene que f(x₁) ≠ f(x₂), lo que indica que la función es inyectiva.
Función Sobreyectiva
La función f(x) = x³ definida en ℝ es sobreyectiva, ya que para cualquier valor real y, existe un x ∈ ℝ tal que f(x) = y.